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Study/고등학교 수학

[고등학교 수학 상] 다항식 - 아빠가 하는 공부

by 마즈다 2022. 5. 23.
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수학 상 - 다항식

다항식의 용어

문제 풀이 시 문제의 내용을 이해하고 무엇을 구해야 하는지 올바로 확인하기 위해서는 용어를 잘 이해할 필요가 있다.

  • 다항식: 한 개 이상의 항의 합(차)로 이루어진 식
  • : 더해져서 다항식을 이루고 있는 작은 구성원들
  • 변수(미지수): 구하고자 하는 값을 나타내는 문자
  • 상수항: 변수를 포함하고 있지 않은 항
  • 변수의 개수에 따라: 일변수, 이변수, 삼변수, 다변수
  • 항의 수에 따라: 단항식, 이항식, 삼항식…n항식
  • 계수: 다항식 내에서 특정변수에 곱하는 수(곱하는 수가 안보이는 경우 1을 곱한 것으로 보아 계수는 1이고 뺄셈 항의 계수는 -를 붙여 따진다. 상수도 계수이다.)
  • 차수: 변수의 거듭제곱을 나타내는 지수. 하나의 항에서 모든 변수의 차수를 합한 것이 그 항의 차수이며 다항식 안에서 가장 차수가 높은 항의 차수가 그 다항식의 차수가 된다.
  • 동류항: 같은 다항식 내에서 변수와 차수가 같은 항들
  • 동차 다항식: 차수가 같은 항들로만 이루어진 다변수 다항식
  • 내림차순으로 정리: 차수가 높은 항부터 낮은 항으로 다항식을 표시하는 방법
  • 오름차순으로 정리: 차수가 낮은 항부터 높은 항으로 다항식을 표시하는 방법

상수가 계수인 이유
$ ax^2 + bx + c = ax^2 + bx^1 + cx^0 $
즉, 상수 $c$는 변수 $x$의 0제곱에 대한 계수이다.

TMI
데카르트가 방법 서설에서 다항식을 표현할 때 특정한 문자 x, y, z를 사용한 이후 수학 식에서 어떤 수와 식을 표현할 때 x, y, z를 사용하는 것이 보편화 되었다.

다항식의 실제 활용 예

가로 500Cm, 세로 400Cm의 바닥을 가로 20Cm, 세로 80Cm인 하얀 바닥재와 가로 40Cm, 세로 30Cm인 검은 바닥재로 덮으려 한다. 하얀 바닥재와 검은 바닥재는 각각 몇 개가 필요한가?

$ (20 \times 80 \times x) + (40 \times 30 \times y) = 500 \times 400 $
$ 1600x + 1200y = 200000 $


가로 10m, 세로 8m인 텃밭에 가로로 관통하는 길을 2개, 세로로 관통하는 길을 1개 내고 싶다. 단, 길을 내고난 텃밭의 총 넓이는 $60m^2$이어야 한다. 도로의 넓이를 얼마로 해야 하는가?

$ (8 - 2x) (10 - x) = 60 $
$ 2x^2 - 28x + 80 = 60 $

이 단원을 왜 배우는가?

가만히 살펴보면 이 단원에서는 변수(미지수)의 답을 구하는 것이 목적이 아니다.
식 자체를 가지고 사칙연산을 하거나 형태를 바꾸는 내용만을 다루고 있다.
즉, 이 단원은 ‘다항식’의 형태를 익히고 이 형태를 좀 더 단순화 시키는 방법을 학습하는 단원이다.


이러한 과정이 왜 필요한가?
수학은 함수와 방정식이 다라 해도 과언이 아니며 함수와 방정식은 바로 이 다항식으로 이루어져 있다.
방정식을 통해 변수(미지수)의 값을 밝히거나 함수를 이용하여 어떤 결과를 도출할 때 그 식을 최대한
간단하게 만들어야 결과에 도달하기가 쉽다.


결국 기초 수학이든 고등 수학이든 수학을 조금 더 쉽게 정리해 나갈 수 있는 방법은
복잡한 것을 간단하게, 큰 것을 작게 만드는 것이 지름길이다.
이를 위한 연습이 바로 다항식 단원인 것이다.

다항식의 덧셈과 뺄셈

  • 다항식의 덧셈과 뺄셈은 동류항끼리 모아서 계산한다.
  • 다항식의 덧셈에서도 교환법칙과 결합법칙이 성립한다.

다항식의 곱셈과 나눗셈

  • 다항식의 곱셈은 분배법칙을 이용하여 전개한 다음 동류항끼리 모아서 계산한다.
  • 다항식의 곱셈에서도 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 성립한다.
  • 다항식의 나눗셈은 다항식을 내림차순으로 정리한 후 자연수의 나눗셈과 같은 방법으로 계산한다.

TIP

  1. 항이 3개 이상인 다항식의 제곱 곱셈에서는 다항식을 2개의 그룹으로 나눈 후 분배법칙을 적용하면 쉽게 전개할 수 있다.
  2. 다항식의 곱셈은 계수(상수 포함)의 세로 식으로 구할 수도 있다.

조립제법

  • 다항식을 일차식으로 나누었을 때, 몫과 나머지를 계수와 상수항을 이용하여 간편하게 구하는 방법

$x$의 값이 분수인 형태의 1차 식으로 나누는 경우의 풀이
$(2x^3 - 3x^2 + 6x - 1) \div (2x - 1)$

=> 위 식을 $A = BQ + R$의 꼴로 나타내면.

=> $(2x^3 - 3x^2 + 6x - 1) = (2x - 1) \times Q + R$

= $(2x^3 - 3x^2 + 6x - 1) = 2(x - \frac{1}{2}) \times Q + R$

= $(2x^3 - 3x^2 + 6x - 1) = (x - \frac{1}{2}) \times 2Q + R$


즉, 우리는 $2(x - \frac{1}{2})$라는 식으로 나누어 $Q$와 $R$을 구해야 하는데 편의상 $(x - \frac{1}{2})$ 로 나누어 $2Q$를 얻게 되므로 최종 결과인 몫을 2로 나누어야(조립제법 과정에서 나누는 수를 곱해야) 하는 것이다.


TIP
수학의 절반은 치환이다. 어떠한 식이나 값을 간단한 표현으로 바꾼 후 계산을 하여 전체 식을 단순화 한 후 최초에 간단한 표현으로 바꾼 식이나 값을 다시 원래대로 만들어 최종 결과를 만들어야 한다.


위의 풀이에서도 나누는 식이 $2(x - \frac{1}{2}) $로 복잡하므로 앞의 2를 제거하고 $(x - \frac{1}{2})$ 형태로 만들어 단순화 시키고 대신 몫의 형태를 $Q$에서 $2Q$로 만들어(이 변화는 복잡하지 않다) 풀이를 한 후 다시 최종 결과에 원래대로 $2(x - \frac{1}{2}) $로 나누었을 때의 형태로 만들어주는 것이다.

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