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Study/고등학교 수학

[고등학교 수학 상] 나머지 정리와 인수분해 - 아빠가 하는 공부

by 마즈다 2022. 7. 4.
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수학 상 - 나머지정리와 인수분해

용어 정리

  • 항등식: 문자를 포함한 등식에서 그 문자에 어떤 수를 대입해도 등식이 성립하는 식
  • 미정계수법: 항등식의 성질을 이용하여 등식에서 미지의 계수를 구하는 방법
    1. 계수 비교법: 양변의 차수가 같은 항(동류항)의 계수를 비교
    2. 수치 대입법: 문자에 적당한 값을 대입

위키피디아 정의(항등식 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전)

  1. 등식 내부의 특정한 변수가 복소수의 범위에서 어떤 값으로 변하든 항상 참을 만족하는 등식이다.
  2. 등식의 양변에서 특정한 문자의 차수에 따른 문자들(동류항)의 계수가 각각 모두 같은 등식이다.


항등식의 성질

$ax^2 + bx + c = 0$이 $x$에 대한 항등식이면 $a=0, b=0, c=0$이다.
또한 $a=0, b=0, c=0$이면 $ax^2 + bx + c = 0$은 $x$에 대한 항등식이다.


$ax^2 + bx + c = a^\prime x^2 + b^\prime x + c^\prime$이 $x$에 대한 항등식이면, $a=a^\prime, b=b^\prime, c=c^\prime$이다.
또한 $a=a^\prime, b=b^\prime, c=c^\prime$이면, $ax^2 + bx + c = a^\prime x^2 + b^\prime x + c^\prime$은 $x$에 대한 항등식이다.


나머지 정리

다항식 $P(x)$를 $x-a$로 나누었을 때, 나머지를 $R$라고 하면
$R = P(a)$


풀이
$P(x)$를 $x-a$로 나눈 몫을 $Q(x)$ 나머지를 $R$라고 하면
$P(x) = (x-a)Q(x) + R$이고 이 식은 $x$에 대한 항등식이므로 $x$에 $a$를 대입하면
$P(a) = (a-a)Q(a) + R$
= $P(a) =R$


왜 다항식의 나눗셈은 항등식이 되는가?
간단하게 말해서 나누어지는 식을 $P$, 나누는 식을 $A$, 몫을 $Q$, 나머지를 $R$로 놓는다면
항상 $P = AQ + R$로 표현할 수 있다. 즉, $P$는 항상 $AQ + R$와 같은 항등식이다.
결국 이 식을 원래의 다항식으로 치환하여 생각해보면 다항식의 나눗셈은 항등식이 된다.


TIP
(너무도 당연하게)어떤 식에서 같은 문자는 같은 숫자다.
$P(x) = (x-1)(x-2)Q(x) + ax + b$라는 항등식에서 $x$가 1이라는 말은 곧
$P(1) = (1-1)(1-2)Q(1) + a + b$라는 말이다. 마찬가지로 $x$가 2라는 말은
$P(2) = (2-1)(2-2)Q(2) + 2a + b$와 같은 의미다.


TIP
다항식 $P(x)$를 이차식으로 나누었을 때의 나머지를 구하는 순서

  1. 우선 나누는 다항식인 2차식을 1차식의 곱으로 풀어놓는다.
  2. 나머지는 임의의 계수를 갖는 1차 식으로 만든다(예 : $ax + b$). (나머지는 나누는 수보다 낮은 차수의 다항식이다)
  3. 1차식의 곱으로 만든 나누는 다항식의 $x$에 각각 몫($Q(x)$)을 포함한 식이 0이 되는 수를 대입해본다.
  4. 계수를 변수로 하는 새로운 연립 방정식을 푼다.

인수 정리

인수 정리
다항식 $P(x)$에 대하여 $P(a) = 0$이면 $P(x)$는 $x-a$로 나누어 떨어진다.
거꾸로 $P(x)$가 $x-a$로 나누어 떨어지면 $P(a) = 0$이다.


인수분해

인수분해
하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것


인수분해공식
인수분해는 다항식의 곱의 전개 과정을 거꾸로 생각한 것!


➀ $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac = (a + b + c)^2$
➁ $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a + b)^3, a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a - b)^3$
➂ $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2), a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$


TIP
인수분해 시는 각 항에서 공통으로 뽑을 수 있는 인수들을 먼저 뽑아낸다(필요 시 뽑아낸 인수들을 단일 문자로 치환한다).



$a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3$
$= a^3 + 3a^2(2b) + 3a(2b)^2 + (2b)^3$
$= a^3 + 3a^2B + 3aB^2 + B^3$ (선택 사항, $B = 2b$)
$= (a + B)^3 = (a + 2b)^3$ ($B$를 원래 $2b$로 치환)

  • 삼차 이상의 다항식을 인수분해 할 때, 인수정리조립제법을 이용하면 편리한 경우가 있다.

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