[고등학교 수학 상] 나머지 정리와 인수분해 - 아빠가 하는 공부

수학 상 - 나머지정리와 인수분해

용어 정리

• 항등식: 문자를 포함한 등식에서 그 문자에 어떤 수를 대입해도 등식이 성립하는 식
• 미정계수법: 항등식의 성질을 이용하여 등식에서 미지의 계수를 구하는 방법
  1. 계수 비교법: 양변의 차수가 같은 항(동류항)의 계수를 비교
  2. 수치 대입법: 문자에 적당한 값을 대입

위키피디아 정의(항등식 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전)

1. 등식 내부의 특정한 변수가 복소수의 범위에서 어떤 값으로 변하든 항상 참을 만족하는 등식이다.
2. 등식의 양변에서 특정한 문자의 차수에 따른 문자들(동류항)의 계수가 각각 모두 같은 등식이다.

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항등식의 성질

$ax^2 + bx + c = 0$이 $x$에 대한 항등식이면 $a=0, b=0, c=0$이다.
또한 $a=0, b=0, c=0$이면 $ax^2 + bx + c = 0$은 $x$에 대한 항등식이다.


$ax^2 + bx + c = a^\prime x^2 + b^\prime x + c^\prime$이 $x$에 대한 항등식이면, $a=a^\prime, b=b^\prime, c=c^\prime$이다.
또한 $a=a^\prime, b=b^\prime, c=c^\prime$이면, $ax^2 + bx + c = a^\prime x^2 + b^\prime x + c^\prime$은 $x$에 대한 항등식이다.

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나머지 정리

다항식 $P(x)$를 $x-a$로 나누었을 때, 나머지를 $R$라고 하면
$R = P(a)$


풀이
$P(x)$를 $x-a$로 나눈 몫을 $Q(x)$ 나머지를 $R$라고 하면
$P(x) = (x-a)Q(x) + R$이고 이 식은 $x$에 대한 항등식이므로 $x$에 $a$를 대입하면
$P(a) = (a-a)Q(a) + R$
= $P(a) =R$


왜 다항식의 나눗셈은 항등식이 되는가?
간단하게 말해서 나누어지는 식을 $P$, 나누는 식을 $A$, 몫을 $Q$, 나머지를 $R$로 놓는다면
항상 $P = AQ + R$로 표현할 수 있다. 즉, $P$는 항상 $AQ + R$와 같은 항등식이다.
결국 이 식을 원래의 다항식으로 치환하여 생각해보면 다항식의 나눗셈은 항등식이 된다.


TIP
(너무도 당연하게)어떤 식에서 같은 문자는 같은 숫자다.
$P(x) = (x-1)(x-2)Q(x) + ax + b$라는 항등식에서 $x$가 1이라는 말은 곧
$P(1) = (1-1)(1-2)Q(1) + a + b$라는 말이다. 마찬가지로 $x$가 2라는 말은
$P(2) = (2-1)(2-2)Q(2) + 2a + b$와 같은 의미다.


TIP
다항식 $P(x)$를 이차식으로 나누었을 때의 나머지를 구하는 순서

1. 우선 나누는 다항식인 2차식을 1차식의 곱으로 풀어놓는다.
2. 나머지는 임의의 계수를 갖는 1차 식으로 만든다(예 : $ax + b$). (나머지는 나누는 수보다 낮은 차수의 다항식이다)
3. 1차식의 곱으로 만든 나누는 다항식의 $x$에 각각 몫($Q(x)$)을 포함한 식이 0이 되는 수를 대입해본다.
4. 계수를 변수로 하는 새로운 연립 방정식을 푼다.

인수 정리

인수 정리
다항식 $P(x)$에 대하여 $P(a) = 0$이면 $P(x)$는 $x-a$로 나누어 떨어진다.
거꾸로 $P(x)$가 $x-a$로 나누어 떨어지면 $P(a) = 0$이다.

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인수분해

인수분해
하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것


인수분해공식
인수분해는 다항식의 곱의 전개 과정을 거꾸로 생각한 것!


➀ $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac = (a + b + c)^2$
➁ $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a + b)^3, a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a - b)^3$
➂ $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2), a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$


TIP
인수분해 시는 각 항에서 공통으로 뽑을 수 있는 인수들을 먼저 뽑아낸다(필요 시 뽑아낸 인수들을 단일 문자로 치환한다).


예
$a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3$
$= a^3 + 3a^2(2b) + 3a(2b)^2 + (2b)^3$
$= a^3 + 3a^2B + 3aB^2 + B^3$ (선택 사항, $B = 2b$)
$= (a + B)^3 = (a + 2b)^3$ ($B$를 원래 $2b$로 치환)

• 삼차 이상의 다항식을 인수분해 할 때, 인수정리와 조립제법을 이용하면 편리한 경우가 있다.