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문돌이를 위한 자연상수 e와 자연로그의 이해

음…제목을 ‘이해’라고 달았지만…본인 스스로도 전혀 이해하고 있지 못한 이 슬픈 현실…ㅠ.ㅠ
일단 염두에 두어야 할 것은 자연상수 e의 존재 가치는 경험으로 얻을 수 밖에 없다는 것이다. 수많은 수학과 물리학 등
자연과학은 물론 공학에 이르기 까지 그 사용은 너무나 많다고들 한다. 하지만 문돌이의 처지에서 도대체 그 ‘많은’ 
것들이 대체 뭔가 하는데 이르면 그야말로 노답인 것이다. 그래서 오늘은 그저 딱 문돌이가 알면 도움이 될…까? 하는
선에서 자연상수 e와 그 자연상수 e를 밑으로 하는 자연로그에 대해 짚고 넘어가겠다.


자연상수 e에 대해

일단 네이피어에서 시작해 오트리드, 베르누이, 라이프니츠 그리고 오일러에 이르기까지 많은 수학자들이 자연상수 
e를 발견하고 사용을 했다. 하지만 마지막에 이 자연상수에 e라는 이름을 붙이고 체계적으로 정리한 사람은 바로
오일러(Euler)이다. 자연상수 e는 최초 발견자인 네이피어를 기리는 의미로 ‘네이피어 상수’라고도 하고 또 그냥
‘오일러의 수’라고도 하지만 가장 대표적인 이름은 오일러의 첫 이니셜을 딴 ‘자연상수 e’이다.


그런데 오늘 설명에서 가장 주목해야 할 사람은 네이피어도, 오일러도 아닌 바로 베르누이다.
베르누이는 복리식을 계산을 연구하다가 그 이자가 무한대의 횟수만큼 지급되는 경우를 계산해보았더니 그 수가
특별한 어떤 수에 가까워지는 것을 발견하였는데 이 수가 바로 자연상수 e였던 것이다.


원금 1원에 연 이율이 100%인 경우를 가정해보자. 1원을 저축하면 1년 후에는 원금 1원과 1원에 대한 이자(100%)
1원을 더해 2원을 받을 수 있다. 그렇다면 이자를 1년 꽉 채운 후 받지 말고 6개월 후에 한 번 그리고 1년 후에 한 번,
이렇게 나누어 받으면 어떨까? 그러면 연 이율이 100%니까 6개월후에 50% 이자를 받고 1년 후에 나머지 50%를
추가로 받게 되는 것이다. 그러면 6개월이 된 시점에서 원금 1월과 50%의 이자 0.5원이 생긴다. 그리고 또 6개월이
지나면 1원에 대한 이자 0.6원과 처음 6개월이 지난 시점에서 받은 이자 0.5원에 대한 이자 0.25원이 추가로 생긴다.
그러면 1년 후의 총 금액은 1 + 0.5 + 0.5 + 0.25 = 2.25로 1년에 1번 받을 때보다 0.25원을 더 많이 받게 된다.
바로 이런 식으로 이자를 받는 기간을 점점 짧게 자주 받을 경우를 계산해본 것이다. 아마도 주기가 짧아질수록 금액이
점점 더 커질 것을 예상했으리라


수식으로 보면 이렇다.


1년에 1번 이자 받기
1 + 1 * 1


1년에 2번 이자 받기
(1 + 1/2 * 1) + (1/2 * 1 + 1/2 * 1/2)
식을 간단하게 해보면
1 + 1/2 + 1/2 + 1/4


1년에 3번 이자 받기
(1 + (1/3 * 1)) + 
(1 + (1/3 * 1)) + (1/3 * 1 + 1/3 * 1/3) + 
(1 + (1/3 * 1)) + (1/3 * 1 + 1/3 * 1/3) + (1/3 * 1/3 + 1/3 * 1/3 * 1/3)
역시 식을 간단히 해보면
1 + 1/3 + 1/3 + 1/9 + 1/9 + 1/27


위 3개의 식을 다르게 표현해보면 다음과 같다(아무리 문돌이지만 아래 식을 풀어보면 위의 식과 같다는 정도는
알겠지…-.-)
1번 이자 받기 : 1 + 1 = (1 + 1/1)^1
2번 이자 받기 : (1 + 1/2) * (1 + 1/2) 
3번 이자 받기 : (1 + 1/3) * (1 + 1/3) * (1 + 1/3)


이 것을 일반화 시켜보면 (1 + 1/x)^x의 형태가 나온다. 그리고 이자 받는 횟수를 무한히 증가시켜보면 결국 
최종 식은 다음과 같다.


그리고 이 식의 값은 대략 2.71828…정도라고 한다.


사실 이런 과정은 다 필요 없고 다음의 성질만 기억해두면 될 것 같다.


  1. 자연상수 e는 증가에 대한 개념으로부터 출발한다(그래서 일부러 위의 식을 적었다).
  2. 어떤 수(1보다는 크지만 1에 극히 가까운 수)가 무한히 증가하더라도 이 식의 결과는 무한히 증가하지 않고 특정 값 (2.71828…)에 수렴한다.
  3. 마치 원주율의 𝜋와 같이 e 또한 상수이며 어떤 계산의 편의를 위해 사용된다(다만 𝜋의 경우 ‘원’이라는 구체적 도형으로부터 도출된 것이지만 그에 비해 e는 매우 추상적이어서 문돌이들의 접근이 쉽지 않은 것 같다).

물론 미적분과 관련하여 더 중요한 의미가 있는 것 같지만 우린 문돌이니까 적절한 선에서 멈추자…-.-


자연로그에 대해

사실 로그까지 오면 더 난감해진다. 역시나 그저 문돌이 수준에서 정리를 하고 넘어가자.
일단 로그는 지수(거듭제곱)와 관련된다. 간단하게 예를들면 1초에 2마리씩 분열하는 박테리아가 있다. 이 박테리아는
10초 후에 몇마리가 되었을까? 1초에 2마리, 2초에 4마리 3초에 8마리 4초에 16마리…10초 후에는 1024마리가 
된다. 이 것을 식으로 나타내면 다음과 같을 것이다.

2^10 = x

이 것을 역으로 물어볼 수도 있다. 이 박테리아가 1024마리가 되기 위해서는 몇초가 필요한가? 이 것은 식으로 
나타내면 다음과 같다.

2^x = 1024

이 식을 x를 기준으로 표현한 것이 바로 로그(log, logarithm)이며 다음과 같이 표현할 수 있다.


이 때 2를 밑, 1024를 진수라고 한다.


이러한 로그에는 특수한 케이스가 존재하는데 그 중 하나가 바로 밑이 10인 상용로그이다. 우리가 10진법을 주로
사용하기 때문에 매우 쉽고 유용하게 접근할 수 있다. 이러한 상용로그는 밑을 표시하지 않고 간단히 log100처럼
사용한다. 즉, 다음 두 식은 같은 것이다.


다른 하나가 바로 자연상수 e를 밑으로 하는 자연로그인데 아직 완전히 이해하지 못한 e를 밑으로 하는 만큼
자연로그 역시 아직은 그 가치를 잘 모르겠다…ㅠ.ㅠ 역시나 미적분과 밀접한 관련이 있다는 것만 어렴풋이 알 수
있을 뿐…


이 자연로그는 역시 밑을 생략하고 쓰기도 하는데 이미 사용 로그에서 log100과 같이 표현을 했기 때문에 같이
쓰지는 못하고 자연(nature)의 n을 따와서 ln으로 표시한다. 즉 아래의 두 식은 동일한 식이다.


그런데 고등 수학으로 가면 상용로그를 거의 안쓰기 대문에 log7.398…이 자연로그를 의미하는 경우가 더 많다고
한다.


정리

앞서 로지스틱 회귀에 대한 내용을 정리할 때도 말했지만 굳이 이런 부분까지 알아야 할까 하는 의문이 없진 않다.
이미 모든 것이 API화 되어있어 그 API만 호출하면 원하는 결과를 쉽게 출력할 수 있는데…하지만 비록 완벽하지는
못하다 할지라도 이러한 내용을 찾아가고 정리하는 과정에서 전체적인 흐름을 이해하는데 도움이 된 것 또한 분명하다.
텐서플로우를, 인공지능을 공부하는 내내 아마도 이런 어려운 수학들과 씨름을 하게 되겠지만 그 힘든 과정이 왠지
즐거울 것만 같은 묘한 느낌이 든다…^^ 


스스로도 이해하지 못하는 내용을 정리하다보니 정확하지 않은 지식을 남들에게 보여주어 피해를 입해는 것은 아닐까 
하는 두려움도 있으나 일단 이렇게라도 정리를 해두어야 나중에 더 깊이 공부할 때 도움이 될 것 같아 우선은 남겨둔다.
언젠가는 보다 정확한 지식을 기반으로 더 쉽게 정리해보겠다!!!

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마즈다

이제 반백이 되었지만 아직도 꿈을 좇고 있습니다. 그래서 그 꿈에 다가가기 위한 단편들을 하나 둘 씩 모아가고 있지요. 이 곳에 그 단편들이 모일 겁니다...^^

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